Задача 1)Векторы a,b, и c заданы их декартовыми координатами: а (1;2;-1), b(3;-1;7), c(0;2;4).Найдите координаты следующих векторов:
а) a+b+1/2c
б) 2a-(b+c)
в)b-a/2
Задача 1)Векторы a,b, и c заданы их декартовыми координатами: а (1;2;-1), b(3;-1;7), c(0;2;4).Найдите координаты следующих векторов:
а) a+b+1/2c
б) 2a-(b+c)
в)b-a/2
Для того чтобы найти координаты новых векторов, нужно выполнять операции сложения, вычитания и умножения на скаляр, используя координаты заданных векторов ( \mathbf{a} = (1, 2, -1) ), ( \mathbf{b} = (3, -1, 7) ) и ( \mathbf{c} = (0, 2, 4) ).
Найдем координаты вектора ( \frac{1}{2}\mathbf{c} ): [ \frac{1}{2}\mathbf{c} = \left( \frac{1}{2} \cdot 0, \frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot 4 \right) = (0, 1, 2) ]
Теперь сложим векторы ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \frac{1}{2}\mathbf{c} ): [ \mathbf{a} + \mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c} = (1, 2, -1) + (3, -1, 7) + (0, 1, 2) ]
Складываем соответствующие координаты: [ (1+3+0, 2+(-1)+1, -1+7+2) = (4, 2, 8) ]
Итак, координаты вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c} ) равны ( (4, 2, 8) ).
Найдем координаты вектора ( 2\mathbf{a} ): [ 2\mathbf{a} = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot -1) = (2, 4, -2) ]
Найдем координаты вектора ( \mathbf{b} + \mathbf{c} ): [ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (3, -1, 7) + (0, 2, 4) = (3+0, -1+2, 7+4) = (3, 1, 11) ]
Теперь вычтем ( \mathbf{b} + \mathbf{c} ) из ( 2\mathbf{a} ): [ 2\mathbf{a} - (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (2, 4, -2) - (3, 1, 11) ]
Вычитаем соответствующие координаты: [ (2-3, 4-1, -2-11) = (-1, 3, -13) ]
Итак, координаты вектора ( 2\mathbf{a} - (\mathbf{b} + \mathbf{c}) ) равны ( (-1, 3, -13) ).
Найдем координаты вектора ( \frac{\mathbf{a}}{2} ): [ \frac{\mathbf{a}}{2} = \left( \frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2} \right) ]
Теперь вычтем ( \frac{\mathbf{a}}{2} ) из ( \mathbf{b} ): [ \mathbf{b} - \frac{\mathbf{a}}{2} = (3, -1, 7) - \left( \frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2} \right) ]
Вычитаем соответствующие координаты: [ \left( 3 - \frac{1}{2}, -1 - 1, 7 - \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \left( \frac{5}{2}, -2, 7 + \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, -2, \frac{15}{2} \right) ]
Итак, координаты вектора ( \mathbf{b} - \frac{\mathbf{a}}{2} ) равны ( \left( \frac{5}{2}, -2, \frac{15}{2} \right) ).
а) a + b + 1/2c = (1;2;-1) + (3;-1;7) + 1/2(0;2;4) = (1+3+0; 2+(-1)+2; -1+7+2) = (4;3;8)
б) 2a - (b + c) = 2(1;2;-1) - ((3;-1;7) + (0;2;4)) = (2;4;-2) - (3;-1;7) - (0;2;4) = (2-3-0; 4-(-1)-2; -2-7-4) = (-1;7;-13)
в) b - a/2 = (3;-1;7) - (1/2;1;-1/2) = (3-1/2; -1-1; 7+1/2) = (5/2; -2; 15/2)
