ЗАДАЧА: В теннисном турнире участвовало 5 человек. Сколько было сыграно партий , если каждый участник сыграл с остальными по одной партии РЕШЕНИЕ: Дайте каждому участнику номер 1 до 5, тогда каждую партию можно будет закодировать двузначным числом. Ответьте на вопросы: а) Что будет означать число 23? б) Почему среди кодов не должно быть числа 44? в) Почему среди кодов должно быть только одно из чисел 15 и 51?
а) Число 23 будет означать, что участник с номером 2 играл с участником номер 3. б) Если бы среди кодов было число 44, это означало бы, что участник с номером 4 играл сам с собой, что невозможно. в) Поскольку каждый участник играл с каждым другим ровно один раз, среди кодов должно быть только одно из чисел 15 и 51, чтобы обозначить, что участник с номером 1 играл с участником номер 5.
а) Число 23 означает, что участник под номером 2 сыграл с участником под номером 3. б) Если код будет содержать число 44, это будет означать, что участник сыграл сам с собой, что невозможно. в) Поскольку каждый участник сыграл с остальными по одной партии, в кодах должно быть только одно из чисел 15 и 51, чтобы не учитывать повторные игры между одними и теми же участниками.
Для решения задачи необходимо определить, сколько партий было сыграно в турнире, если каждый из 5 участников сыграл с каждым другим по одной партии. Это типичная задача на определение количества пар в множестве.
Идентификация участников: Присвоим каждому участнику номер от 1 до 5. Таким образом, у нас есть участники 1, 2, 3, 4 и 5.
Определение пар: Каждая партия между двумя участниками может быть представлена в виде двузначного числа, где первая цифра - номер первого участника, а вторая - номер второго участника. Например, если участники 2 и 3 играют друг с другом, это можно закодировать как 23.
Количество партий: Поскольку каждый участник играет с каждым другим ровно один раз, нам нужно определить количество различных пар, которые можно составить из 5 участников. Это сочетания из 5 по 2, которые вычисляются по формуле сочетаний:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
где ( n = 5 ) (всего участников), ( k = 2 ) (по два участника в каждой партии).
[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ]
Таким образом, будет сыграно 10 партий.
а) Что будет означать число 23?
Число 23 обозначает партию между участниками, которым были присвоены номера 2 и 3. Это значит, что второй участник сыграл с третьим участником.
б) Почему среди кодов не должно быть числа 44?
Число 44 означало бы, что участник с номером 4 играет сам с собой, что невозможно в контексте турнира, где каждый играет с другими участниками. В теннисе (и других подобных играх) партии между одним и тем же участником невозможны.
в) Почему среди кодов должно быть только одно из чисел 15 и 51?
Числа 15 и 51 представляют одну и ту же партию между участниками 1 и 5. Поскольку порядок участников в партии не имеет значения (играют оба друг с другом), достаточно закодировать эту партию одним числом. Выбор между 15 и 51 зависит от того, какое соглашение о порядке вы выберете (например, всегда ставить меньший номер первым). В любом случае, это одна и та же партия, и её нужно учитывать только один раз.
Таким образом, правильный подход позволяет избежать дублирования партий и ошибок в подсчёте общего количества игр.
