Записать разложение бинома Ньютона (x+2)^5

Для того чтобы разложить бином Ньютона (x+2)^5, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона.

В общем виде формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^(n-1)y^1 + . + C(n,n-1)xy^(n-1) + C(n,n)x^0y^n,

где C(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n!/(k!*(n-k)!).

В нашем случае, n=5, x=x, y=2. Подставляя значения в формулу, получаем:

(x+2)^5 = C(5,0)x^52^0 + C(5,1)x^42^1 + C(5,2)x^32^2 + C(5,3)x^22^3 + C(5,4)x2^4 + C(5,5)x^02^5.

Раскрывая биномиальные коэффициенты, получаем следующее разложение:

(x+2)^5 = x^5 + 10x^42 + 40x^34 + 80x^28 + 80x16 + 32,

Таким образом, разложение бинома Ньютона (x+2)^5 равно x^5 + 10x^42 + 40x^34 + 80x^28 + 80x16 + 32.

Разложение бинома Ньютона, также известное как биномиальное разложение, использует биномиальные коэффициенты для разложения выражения вида ((x + y)^n). В данном случае у нас ((x + 2)^5).

Формула бинома Ньютона для разложения ((x + y)^n) выглядит следующим образом:

[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k ]

где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, определяемый как:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Для нашего примера ((x + 2)^5), (x = x), (y = 2) и (n = 5). Подставим эти значения в формулу:

[ (x + 2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} \cdot 2^k ]

Теперь давайте вычислим каждый член разложения:

1. Для (k = 0): [ \binom{5}{0} x^{5-0} \cdot 2^0 = \binom{5}{0} x^5 \cdot 1 = 1 \cdot x^5 = x^5 ]

2. Для (k = 1): [ \binom{5}{1} x^{5-1} \cdot 2^1 = \binom{5}{1} x^4 \cdot 2 = 5 \cdot x^4 \cdot 2 = 10x^4 ]

3. Для (k = 2): [ \binom{5}{2} x^{5-2} \cdot 2^2 = \binom{5}{2} x^3 \cdot 4 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3 ]

4. Для (k = 3): [ \binom{5}{3} x^{5-3} \cdot 2^3 = \binom{5}{3} x^2 \cdot 8 = 10 \cdot x^2 \cdot 8 = 80x^2 ]

5. Для (k = 4): [ \binom{5}{4} x^{5-4} \cdot 2^4 = \binom{5}{4} x^1 \cdot 16 = 5 \cdot x \cdot 16 = 80x ]

6. Для (k = 5): [ \binom{5}{5} x^{5-5} \cdot 2^5 = \binom{5}{5} \cdot 1 \cdot 32 = 1 \cdot 32 = 32 ]

Сложим теперь все эти члены вместе:

[ (x + 2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 ]

Таким образом, разложение бинома Ньютона для ((x + 2)^5) выглядит следующим образом:

[ (x + 2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 ]