Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=3/х в точке с абсциссой х0=1

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой х0 = 1, нам нужно найти производную этой функции f'(x) и затем найти значение производной в точке х0 = 1.

Сначала найдем производную функции f(x) = 3/x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции f(x) = a/x, где a - постоянное число:

f'(x) = -a/x^2

Таким образом, производная функции f(x) = 3/x будет равна:

f'(x) = -3/x^2

Теперь найдем значение производной в точке х0 = 1:

f'(1) = -3/1^2 = -3

Теперь у нас есть коэффициент наклона касательной к графику функции в точке х0 = 1. Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно знать координаты точки, в которой она касается графика. Мы знаем, что абсцисса этой точки равна 1 (х0 = 1), а ордината f(1) = 3/1 = 3.

Теперь мы можем записать уравнение касательной в виде уравнения прямой y = kx + b, где k - коэффициент наклона (в данном случае k = -3) и b - свободный член (пересечение с осью ординат).

y = -3x + b

Теперь найдем b, подставив координаты точки (1, 3) в уравнение:

3 = -3*1 + b 3 = -3 + b b = 6

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 3/x в точке с абсциссой х0 = 1 будет:

y = -3x + 6

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = \frac{3}{x} ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти значение функции в точке ( x_0 )

Подставим ( x_0 = 1 ) в функцию ( f(x) ):

[ f(1) = \frac{3}{1} = 3 ]

Таким образом, точка касания имеет координаты ( (1, 3) ).

Шаг 2: Найти производную функции

Производная функции ( f(x) = \frac{3}{x} ) может быть найдена с использованием правила производной для функции вида ( \frac{c}{x} ), где ( c ) — константа. Производная будет:

[ f'(x) = -\frac{3}{x^2} ]

Шаг 3: Найти значение производной в точке ( x_0 )

Подставим ( x_0 = 1 ) в производную:

[ f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3 ]

Это значение является угловым коэффициентом касательной.

Шаг 4: Записать уравнение касательной

Уравнение касательной в точке ( x_0 = 1 ) можно записать в виде:

[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) ]

Подставим известные значения:

[ y - 3 = -3(x - 1) ]

Упростим уравнение:

[ y - 3 = -3x + 3 ]

[ y = -3x + 6 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = \frac{3}{x} ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ) имеет вид:

[ y = -3x + 6 ]